Forme indeterminate

Introduzione

In questa attività viene viene assegnato un limite che, con il calcolo “a mano”, restituisce una forma indeterminata. Con l’uso della calcolatrice è possibile elaborare una congettura su quale possa essere il limite della funzione.

Gli strumenti utilizzati sono:

un esercizio svolto
3 esercizi simili da proporre alla classe

Gli obiettivi di questa attività sono:

usare la calcolatrice per anticipare un risultato (elaborazione di una congettura)
imparare a utilizzare la calcolatrice come strumento di mediazione per affrontare l’argomento “forme indeterminate”

Esercizio svolto

Enunciato

Per il seguente limite

\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}

Esegui il calcolo “a mano” e verifica che si ottiene una forma indeterminata;
Con l’aiuto della calcolatrice grafica NumWorks, elabora una congettura sul valore del limite;
Riscrivi la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata.

Svolgimento

Calcoliamo “a mano”

$\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}$ = $\frac{{0}^3-0}{{0}^2+0}$ = $\frac{0}{0}$
Sulla calcolatrice grafica NumWorks, nell’applicazione Funzioni, traccio il grafico della funzione $f(x)=\frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}$ e osserviamo che in x=0 la funzione non è definita:

Tuttavia, per valori sufficientemente vicino a 0, $f(x)$ è vicina a -1:

La nostra congettura è quindi che:
$\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}=-1$
Riscriviamo la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata:

$\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-x}{{x}^2+x}=\lim_{x \to 0} \frac{x({x}^2-1}{x+1}=\lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)(x-1)}{x(x+1)}=lim_{x \to 0} (x-1)=0-1=-1$
Il risultato è $-1$ .

Esercizi aggiuntivi

Per i seguenti limiti:

Esegui il calcolo “a mano” e verifica che si ottiene una forma indeterminata;
Con l’aiuto della calcolatrice grafica NumWorks, elabora una congettura sul valore del limite;
Riscrivi la funzione in modo equivalente, ma tale che il limite non sia più una forma indeterminata.
A) $\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-6{x}^2+5x}{{x}^3-3{x}^2}$

B) $\lim_{x \to 1} \frac{{x}^2+2x-3}{{x}^2+x-2}$

C) $\lim_{x \to 2} (\frac{1}{{(x-2)}^2} - \frac{1}{{x}^2-2x})$

D) $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{(x-1)} - \frac{3}{{x}^2-1})$

E) $\lim_{x \to 2} (\frac{X}{x-2} - \frac{{x}^2+1}{4-{x}^2})$

F) $\lim_{x \to ∞} \frac{x-1}{{x}^3-1}$

G) $\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^4-2}{{x}^3}$

H) $\lim_{x \to ∞} \frac{1-{x}^2}{{x}^2-x}$

I) $\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^2-6x+9}{{x}^2-3x}$

Forme indeterminate

Introduzione

Esercizio svolto

Enunciato

Svolgimento

Esercizi aggiuntivi

A) lim⁡x→0x3−6x2+5xx3−3x2\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-6{x}^2+5x}{{x}^3-3{x}^2}limx→0​x3−3x2x3−6x2+5x​

B) lim⁡x→1x2+2x−3x2+x−2\lim_{x \to 1} \frac{{x}^2+2x-3}{{x}^2+x-2}limx→1​x2+x−2x2+2x−3​

C) lim⁡x→2(1(x−2)2−1x2−2x)\lim_{x \to 2} (\frac{1}{{(x-2)}^2} - \frac{1}{{x}^2-2x})limx→2​((x−2)21​−x2−2x1​)

D) lim⁡x→1(1(x−1)−3x2−1)\lim_{x \to 1} (\frac{1}{(x-1)} - \frac{3}{{x}^2-1})limx→1​((x−1)1​−x2−13​)

E) lim⁡x→2(Xx−2−x2+14−x2)\lim_{x \to 2} (\frac{X}{x-2} - \frac{{x}^2+1}{4-{x}^2})limx→2​(x−2X​−4−x2x2+1​)

F) lim⁡x→∞x−1x3−1\lim_{x \to ∞} \frac{x-1}{{x}^3-1}limx→∞​x3−1x−1​

G) lim⁡x→∞x4−2x3\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^4-2}{{x}^3}limx→∞​x3x4−2​

H) lim⁡x→∞1−x2x2−x\lim_{x \to ∞} \frac{1-{x}^2}{{x}^2-x}limx→∞​x2−x1−x2​

I) lim⁡x→∞x2−6x+9x2−3x\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^2-6x+9}{{x}^2-3x}limx→∞​x2−3xx2−6x+9​

A) $\lim_{x \to 0} \frac{{x}^3-6{x}^2+5x}{{x}^3-3{x}^2}$

B) $\lim_{x \to 1} \frac{{x}^2+2x-3}{{x}^2+x-2}$

C) $\lim_{x \to 2} (\frac{1}{{(x-2)}^2} - \frac{1}{{x}^2-2x})$

D) $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{(x-1)} - \frac{3}{{x}^2-1})$

E) $\lim_{x \to 2} (\frac{X}{x-2} - \frac{{x}^2+1}{4-{x}^2})$

F) $\lim_{x \to ∞} \frac{x-1}{{x}^3-1}$

G) $\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^4-2}{{x}^3}$

H) $\lim_{x \to ∞} \frac{1-{x}^2}{{x}^2-x}$

I) $\lim_{x \to ∞} \frac{{x}^2-6x+9}{{x}^2-3x}$